A platform for research: civil engineering, architecture and urbanism
A platform for research: civil engineering, architecture and urbanism
Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations
Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations A new method to transform from Cartesian to geodetic coordinates is presented. It is based on the solution of a system of nonlinear equations with respect to the coordinates of the point projected onto the ellipsoid along the normal. Newton's method and a modification of Newton's method were applied to give third-order convergence. The method developed was compared to some well known iterative techniques. All methods were tested on three ellipsoidal height ranges: namely, (-10 - 10 km) (terrestrial), (20 - 1000 km), and (1000 - 36000 km) (satellite). One iteration of the presented method, implemented with the third-order convergence modified Newton's method, is necessary to obtain a satisfactory level of accuracy for the geodetic latitude (σφ < 0.0004") and height ($ σ_{h} $ < $ 10^{-6} $ km, i.e. less than a millimetre) for all the heights tested. The method is slightly slower than the method of Fukushima (2006) and Fukushima's (1999) fast implementation of Bowring's (1976) method.
Transformacja współrzędnych kartezjańskich na geodezyjne na elipsoidzie obrotowej poprzez rozwiązanie układu równań nieliniowych Artykuł przedstawia nową metodę transformacji między współrzędnymi kartezjańskimi a współrzędnymi geodezyjnymi na elipsoidzie obrotowej. Metoda polega na rozwiązaniu nieliniowego układu równań, w którym niewiadomymi są współrzędne punktu leżącego na powierzchni elipsoidy a będącego rzutem punktu znajdującego się poza elipsoidą wzdłuż normalnej. Tak wyznaczone współrzędne punktu na elipsoidzie są podstawą do obliczenia szerokości i wysokości geodezyjnej. Do rozwiązania układu równań zastosowano metodę Newtona oraz zmodyfikowaną metodę Newtona charakteryzującą się zbieżnością trzeciego rzędu. Nowa metoda została porównana z kilkoma dobrze znanymi rozwiązaniami iteracyjnymi. Wszystkie metody były testowane na trzech zakresach wysokości elipsoidalnych: -10 - 10 km (ziemski), 20 - 1000 km, 1000 - 36000 km (satelitarny). Zastosowanie zmodyfikowanej metody Newtona powoduje, iż jedna iteracja nowej metody wystarczy aby osiągnąć zadowalający poziom dokładności zarówno dla szerokości geodezyjnej, jak i wysokości. Prezentowana metoda jest nieco wolniejsza niż metoda Fukushimy (2006) oraz od szybkiej implementacji metody Bowringa (Fukushima, 1999).
Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations
Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations A new method to transform from Cartesian to geodetic coordinates is presented. It is based on the solution of a system of nonlinear equations with respect to the coordinates of the point projected onto the ellipsoid along the normal. Newton's method and a modification of Newton's method were applied to give third-order convergence. The method developed was compared to some well known iterative techniques. All methods were tested on three ellipsoidal height ranges: namely, (-10 - 10 km) (terrestrial), (20 - 1000 km), and (1000 - 36000 km) (satellite). One iteration of the presented method, implemented with the third-order convergence modified Newton's method, is necessary to obtain a satisfactory level of accuracy for the geodetic latitude (σφ < 0.0004") and height ($ σ_{h} $ < $ 10^{-6} $ km, i.e. less than a millimetre) for all the heights tested. The method is slightly slower than the method of Fukushima (2006) and Fukushima's (1999) fast implementation of Bowring's (1976) method.
Transformacja współrzędnych kartezjańskich na geodezyjne na elipsoidzie obrotowej poprzez rozwiązanie układu równań nieliniowych Artykuł przedstawia nową metodę transformacji między współrzędnymi kartezjańskimi a współrzędnymi geodezyjnymi na elipsoidzie obrotowej. Metoda polega na rozwiązaniu nieliniowego układu równań, w którym niewiadomymi są współrzędne punktu leżącego na powierzchni elipsoidy a będącego rzutem punktu znajdującego się poza elipsoidą wzdłuż normalnej. Tak wyznaczone współrzędne punktu na elipsoidzie są podstawą do obliczenia szerokości i wysokości geodezyjnej. Do rozwiązania układu równań zastosowano metodę Newtona oraz zmodyfikowaną metodę Newtona charakteryzującą się zbieżnością trzeciego rzędu. Nowa metoda została porównana z kilkoma dobrze znanymi rozwiązaniami iteracyjnymi. Wszystkie metody były testowane na trzech zakresach wysokości elipsoidalnych: -10 - 10 km (ziemski), 20 - 1000 km, 1000 - 36000 km (satelitarny). Zastosowanie zmodyfikowanej metody Newtona powoduje, iż jedna iteracja nowej metody wystarczy aby osiągnąć zadowalający poziom dokładności zarówno dla szerokości geodezyjnej, jak i wysokości. Prezentowana metoda jest nieco wolniejsza niż metoda Fukushimy (2006) oraz od szybkiej implementacji metody Bowringa (Fukushima, 1999).
Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations
Ligas, Marcin (author) / Banasik, Piotr (author)
2011
Article (Journal)
English
Cartesian to geodetic coordinates conversion on a triaxial ellipsoid
| Online Contents | 2011
Cartesian to geodetic coordinates conversion on a triaxial ellipsoid
| Online Contents | 2011
Cartesian to geodetic coordinates conversion on a triaxial ellipsoid using the bisection method
| Online Contents | 2022
A strict transformation from Cartesian to geodetic coordinates
| Online Contents | 2008